Sobre la clasificación de transformaciones ergódicas

Abstract

Este documento es la recopilación de varios resultados que permiten presentar una noción de lo problemas de clasificación en Teoría Ergódica. Tuvo como motivación los cursos de Sistemas Dinámicos y Teoría de la Medida llevados a cabo el segundo semestre del año 2012, así como un especial interés en el estudio de los sistemas dinámicos bajo estructuras de medida. La clasificación de ciertos objetos es una cuestión usual en el estudio de estructuras matemáticas, y en el caso de Teoría Ergódica tiene relación con otras áreas, como el Análisis Funcional y la Topología. Una de las cosas que se muestra en este trabajo es cómo la clasificación puede hacerse bajo una estructura (espacio de Hilbert) que inicalmente no está presente en el contexto dado. Los problemas de clasificación se enmarcan además en un contexto mucho más general que lo aquí presentado, lo cual se nombra brevemente luego del capítulo 5, y cuya exposición va más allá de los alcances de este trabajo. Se presentan inicialmente los preliminares necesarios para abordar las definiciones y resultados que se tienen en el contexto de los problemas de clasificación en Teoría Ergódica. Se requieren varias nociones del Análisis Funcional, las cuales no se presentan aquí, y de Teoría de la Medida, la mayoría contenidas en el capítulo 1. Posteriormente se introduce la noción de clasificación de transformaciones en espacios de medida y finalmente se muestra cómo la ergodicidad permite caracterizar ciertas transformaciones y de ahí obtener la clasificación deseada. Finalmente se comenta lo descrito en las primeras páginas del documento que llevó a los interrogantes que condujeron al desarrollo de este trabajo. La exposición tiene el proposito de que cualquier lector, con las nociones básicas de las áreas de estudio nombradas anteriormente, pueda entender en menor tiempo la problemática de clasificación en este contexto y llegar a otros resultados, posteriores a lo contenido en este documento.

This document is the compilation of several results that allow to present a notion of classification problems in Ergodic Theory. He had as motivation the courses of Dynamic Systems and Theory of the Measure carried out the second semester of the year 2012, as well as a special interest in the study of the dynamic systems under measurement structures. The classification of certain objects is a usual issue in the study of mathematical structures, and in the case of Ergodic Theory has relation with other areas, such as Functional Analysis and Topology. One of the things shown in this paper is how classification can be done under a structure (Hilbert space) that is not present in the given context. The problems of classification are also framed in a much more general context than what is presented here, which is briefly named after chapter 5, and whose exposition goes beyond the scope of this work. Initially, the preliminaries necessary to address the definitions and results that are presented in the context of classification problems in Ergodic Theory are presented. Several notions of Functional Analysis are required, which are not presented here, and of Measurement Theory, the majority contained in chapter 1. Subsequently, the notion of classification of transformations in measurement spaces is introduced and finally it is shown how the ergodicity allows to characterize certain transformations and from there obtain the desired classification. Finally, what is described in the first pages of the document that led to the questions that led to the development of this work is commented. The purpose of the exhibition is that any reader, with the basic notions of the areas of study named above, can understand in less time the problematic of classification in this context and reach other results, after what is contained in this document.