El problema de Dirichlet a partir del análisis complejo

Suárez Espinosa, Johan Smith | 2024

En este texto se solucionarán con herramientas proporcionadas por el área del análisis complejo dos problemas de valores iniciales muy importantes en el ámbito de las ecuaciones diferenciales parciales, conocidos bajo el nombre de problemas de Dirichlet. La primera parte del texto sirve como una introducción superficial a la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) en ella se define la ecuación diferencial parcial de Laplace, sus soluciones conocidas como funciones armónicas y a su vez el operador Laplaciano ∇2 , así como una notación estándar para los espacios de funciones diferenciables. Posteriormente se presentan al lector resultados clásicos y algunos más específicos del análisis complejo que nos servirán de herramientas al resolver los problemas de Dirichlet. La segunda parte del texto está centrada en resolver los problemas de Dirichlet para la ecuación de Laplace, inicialmente en el disco unitario D = {z ∈ C : |z| < 1} y posteriormente a través de los resultados obtenidos como consecuencia de este hecho se soluciona para el semiplano superior {z ∈ C : Imz > 0}, a partir de la solución de estos problemas se obtienen resultados igualmente relevantes en el análisis complejo como la relación entre funciones armónicas y aquellas que cumplen la propiedad del valor medio, entre otras.