El problema de Dirichlet a partir del análisis complejo

Abstract

En este texto se solucionarán con herramientas proporcionadas por el área del análisis complejo dos problemas de valores iniciales muy importantes en el ámbito de las ecuaciones diferenciales parciales, conocidos bajo el nombre de problemas de Dirichlet. La primera parte del texto sirve como una introducción superficial a la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) en ella se define la ecuación diferencial parcial de Laplace, sus soluciones conocidas como funciones armónicas y a su vez el operador Laplaciano ∇2 , así como una notación estándar para los espacios de funciones diferenciables. Posteriormente se presentan al lector resultados clásicos y algunos más específicos del análisis complejo que nos servirán de herramientas al resolver los problemas de Dirichlet. La segunda parte del texto está centrada en resolver los problemas de Dirichlet para la ecuación de Laplace, inicialmente en el disco unitario D = {z ∈ C : |z| < 1} y posteriormente a través de los resultados obtenidos como consecuencia de este hecho se soluciona para el semiplano superior {z ∈ C : Imz > 0}, a partir de la solución de estos problemas se obtienen resultados igualmente relevantes en el análisis complejo como la relación entre funciones armónicas y aquellas que cumplen la propiedad del valor medio, entre otras.

In this text, two very important initial value problems in the field of partial differential equations, known as Dirichlet problems, will be solved using tools provided by the area of complex analysis. The first part of the text serves as a superficial introduction to the theory of partial differential equations (PDEs) in this part the Laplace’s partial differential equation is defined, its solutions known as harmonic functions, and in turn, the Laplacian operator ∇2 , as well as standard notation for spaces of differentiable functions. Subsequently, classical and some more specific results of complex analysis are presented to the reader, which will serve as tools in solving the Dirichlet problems. The second part of the text focuses on solving the Dirichlet problems for the Laplace equation, initially in the unit disk D = {z ∈ C : |z| < 1} and subsequently through the results obtained as a consequence of this fact, it is solved for the upper half-plane {z ∈ C : Imz > 0}. From the solution of these problems, equally relevant results in complex analysis are obtained, such as the relationship between harmonic functions and those that satisfy the mean value property, among others.