Grafos inducidos sobre funciones aritméticas

Abstract

En este texto se estudiarán dos tipos de grafos que se definen a partir de cualquier grupo finito, esto es, los grafos inducidos por estos grupos dependen del conjunto de los elementos y de la operación definida en el grupo, más concretamente la construcción de los grafos depende del orden de los elementos del grupo, el cual depende totalmente de la operación que se defina en el conjunto. A su vez para la construcción de dichos grafos consideramos una función aritmética h, la cual también afecta el comportamiento del grafo a tratar. La primera parte del documento se centra en recordar de una forma básica la estructura de un grafo, algunas propiedades, definiciones y la relación entre ellos a través de isomorfismos, también se presenta la definición de función aritmética. Luego de esto se presenta la definición de los grafos anteriormente mencionados OP(G) y Gh(G), se consideran algunos ejemplos y finalmente se desarrolla la teoría que nos permite relacionarlos. En la última parte del texto se presentan algunas caracterizaciones de los grafos a partir del grupo y función aritmética que los define, algunos resultados importantes de esta última parte incluyen teoremas de completitud de grafos y teoremas para el cálculo del espectro de la matriz de adyacencia de los grafos Gh(G) que aportan una gran información para el análisis espectral de estas matrices.

In this text, two types of graphs defined from any finite group will be studied. That is, the graphs induced by these groups depend on the set of elements and the operation defined in the group. More specifically, the construction of the graphs depends on the order of the elements in the group, which in turn relies entirely on the operation defined in the set. In the construction of these graphs, we also consider an arithmetic function h, which influences the behavior of the graph under consideration. The first part of the document focuses on rememeber the basic structure of a graph, some properties, definitions, and the relationship between them through isomorphisms. The definition of the arithmetic function is also presented. Following this, the definition of the previously mentioned graphs OP(G) and Gh(G) is introduced, along with some examples. Finally, the theory that allows us to relate them is developed. In the last part of the text, some characterizations of the graphs are presented based on the group and arithmetic function that defines them. Some important results from this final part include theorems on graph completeness and theorems for calculating the spectrum of the adjacency matrix of the graphs Gh(G), which provide valuable information for spectral analysis.