El problema de Dirichlet a partir del análisis complejo
Trabajo de grado - Pregrado
2024
Escuela Colombiana de Ingeniería
En este texto se solucionarán con herramientas proporcionadas por el área del análisis complejo dos
problemas de valores iniciales muy importantes en el ámbito de las ecuaciones diferenciales parciales,
conocidos bajo el nombre de problemas de Dirichlet. La primera parte del texto sirve como una introducción superficial a la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) en ella se define la ecuación
diferencial parcial de Laplace, sus soluciones conocidas como funciones armónicas y a su vez el operador
Laplaciano ∇2
, así como una notación estándar para los espacios de funciones diferenciables. Posteriormente se presentan al lector resultados clásicos y algunos más específicos del análisis complejo que nos
servirán de herramientas al resolver los problemas de Dirichlet.
La segunda parte del texto está centrada en resolver los problemas de Dirichlet para la ecuación de
Laplace, inicialmente en el disco unitario D = {z ∈ C : |z| < 1} y posteriormente a través de los resultados
obtenidos como consecuencia de este hecho se soluciona para el semiplano superior {z ∈ C : Imz > 0}, a
partir de la solución de estos problemas se obtienen resultados igualmente relevantes en el análisis complejo
como la relación entre funciones armónicas y aquellas que cumplen la propiedad del valor medio, entre
otras. In this text, two very important initial value problems in the field of partial differential equations,
known as Dirichlet problems, will be solved using tools provided by the area of complex analysis. The
first part of the text serves as a superficial introduction to the theory of partial differential equations
(PDEs) in this part the Laplace’s partial differential equation is defined, its solutions known as harmonic
functions, and in turn, the Laplacian operator ∇2
, as well as standard notation for spaces of differentiable
functions. Subsequently, classical and some more specific results of complex analysis are presented to the
reader, which will serve as tools in solving the Dirichlet problems.
The second part of the text focuses on solving the Dirichlet problems for the Laplace equation, initially
in the unit disk D = {z ∈ C : |z| < 1} and subsequently through the results obtained as a consequence
of this fact, it is solved for the upper half-plane {z ∈ C : Imz > 0}. From the solution of these problems,
equally relevant results in complex analysis are obtained, such as the relationship between harmonic
functions and those that satisfy the mean value property, among others.
Descripción:
Artículo principal
Título: JSSE-ElProblemaDeDirichletAPartirDelAnálisisComplejo.pdf
Tamaño: 568.4Kb
PDFLEER EN FLIP
Descripción: Autorización
Título: Autorización de publicación (Segundo trabajo,firmado director y Decano).pdf
Tamaño: 538.2Kb
PDF
Título: JSSE-ElProblemaDeDirichletAPartirDelAnálisisComplejo.pdf
Tamaño: 568.4Kb
PDFLEER EN FLIP
Descripción: Autorización
Título: Autorización de publicación (Segundo trabajo,firmado director y Decano).pdf
Tamaño: 538.2Kb